새벽에 이야기했던대로 새로운 프로젝트는 오늘부터 시작하게 된다. 첫 번째 단계는 해석학의 내용을 완벽하게 이해하는 것이므로, 오늘부터 바로 공부에 착수할 것이다.
책에 나오는 모든 정의 (Definition), 정리 (Theorem), 따름 정리 (Corollary), 비고 (Remark) 등의 내용을 정리할 것이며, 정리나 따름 정리 등은 직접 증명하는 것도 시도해볼 것이다. (이 과정에서 책에는 포함된 일부 내용을 생략할 수도 있다.)
각 내용들에 대하여 내가 이해한대로 나름대로 설명을 제공할 것이며, 최대한 흥미롭게 전달하고자 노력을 하겠다.
오늘부터 다룰 내용은 1단원의 내용으로, 단원의 이름은 The Real and Complex Number Systems 이다. 이 단원은 총 9개의 소단원으로 구성되어 있다.
Introduction: 유리수 만으로는 현실의 여러 수들을 나타내기에 충분하지 않음을 보이며 실수체계가 필요한 이유를 제시한다.
Ordered Sets: order가 무엇인지 정의하며 이런 관계를 가지는 집합인 Ordered Set에 대하여 정의한다.
Fields: Field가 무엇인지 정의한다.
The Real Field: 앞에서 정의한 Ordered Set과 Field의 정의를 활용하여 실수체를 정의한다.
The Extended Real Number System: 확장된 실수체를 정의한다. 여기서 무한대라는 것이 무엇인지 정의한다.
The Complex Field: 복소수체를 정의한다.
Euclidean Spaces: ‘유클리드 공간’이 무엇인지 정의한다. 이름은 어려워 보이는데 내용은 익숙할 것이다.
Appendix: 부록이다. 이 부록에서는 ‘cut’이라는 개념을 이용하여 실수체를 구성해볼 것이다.
Exercises: 배운 개념을 활용하여 풀어볼 연습문제들이다.
위 내용들은 총 8개의 블로그 글로 나누어 설명할 것이며, 다음과 같이 나뉠 것이다.
Introduction: 실수체가 필요한 이유에 대해 설명한다.
Ordered Sets: 순서 집합 (ordered set) 의 정의와 least-upper-bound property 에 대해 알아볼 것 이다.
Fields: 체 (field) 의 정의와 성질들에 대해 알아보고, 앞에서 배운 ordered set 의 개념을 함께 활용하여 순서 체 (ordered field) 의 정의와 성질들에 대해 알아볼 것 이다.
The Real Field, The Extended Real Number System: 실수체의 정의에 대해 알아보고, 이를 살짝 변형하여 무한대 기호 $(+\infty,\ -\infty)$ 를 포함한 확장 실수계에 대해 배울 것이다.
The Complex Field: 실수체의 정의를 기반으로 한 복소수체의 정의와 성질에 대해 배울 것이다.
Euclidean Spaces: 실수체의 정의를 기반으로 한 유클리드 공간의 정의와 성질에 대해 배울 것이다.
Appendix: 우리가 앞에서까지 배우는 것은 실수체의 ‘정의’ 이다. 따라서 실제로 실수체를 ‘어떻게 만드는지’ 는 다루지 않는데, 부록에서는 실제로 실수체를 구성하는 방법에 대해 배울 것이다.
Exercise: 마지막 글에서는 모든 연습문제들을 풀어보고 이를 정리할 것이다.
따라서 오늘은 Introduction 소단원을 다룰 것이다.
앞서 이야기한 것처럼, 현실의 여러 가지 수를 나타내는데에 유리수 만으로는 충분하지 않다. 가장 대표적인 사례가 길이가 1인 직사각형의 대각선의 길이가 $\sqrt{2}$ 인 경우일 것이다.
유리수만을 수로 생각한 피타고라스는 이러한 무리수 길이를 수로 인정하지 않고 비밀로 부쳤으나 히파소스가 그 비밀을 대중 앞에서 폭로하자 그를 암살했다는 일화가 있다. 요즘은 무리수가 널리 인정되는 시대인 만큼 암살 당할 걱정은 없으니 원래 이야기로 돌아와서 아래의 내용을 살펴보자.
다음과 같은 방정식
\[ \begin{equation} p^2 = 2 \tag{1} \end{equation} \]
를 만족시키는 유리수 $p$ 는 존재하지 않는다.
증명은 간단하면서도 잘 알려져 있다. 증명은 다음과 같다.
수학에 관심이 있는 사람이라면, 이 증명을 본적이 있을 것이다. 고등학교 수학시간에 귀류법에 대해 배울 때 자주 나오는 예시인데, 이 예시에서 ‘지금’ 주목할 점은 귀류법보다는 $\sqrt{2}$ 가 무리수라는 점에 있다. $\sqrt{2}$ 라는 값은 여러 가지 방식으로 쉽게 존재에 대해 생각해볼 수 있는 값인데, ($x^2 = 2$ 일 때 방정식의 해라던가, 모든 변의 길이가 $1$ 인 정사각형의 대각선 길이라던가…) 그 쉽게 떠올릴 수 있는 값조차 유리수가 아니기 때문에 우리는 실수가 필요하다는 것을 이 예시에서 보여주고 있는 것이다.
위와 같은 예시를 보인 것은 유리수로는 제대로 표현하지 못하는 ‘빈 공간’들이 존재함을 보임으로써 이러한 문제를 해결할 수 있는 실수 체계가 필요한 당위성을 제공하기 위함이다. 이러한 ‘빈 공간’없이 현실 세계의 수를 나타낼 수 있는 실수의 특성은 해석학에서 중요한 역할을 수행한다. 실수의 구조를 확립하기 위해서 우리는 ordered set 과 field 라는 일반적인 개념 들에 대한 간략한 논의를 진행할 것이다. 아래에서는 표준적인 집합론에서 사용되는 용어들을 정의한다.
…라고 책에 쓰여있었다. 원문의 의미를 모두 담아낸 것은 아니지만, 큰 흐름을 설명하는 데는 이정도로 번역하면 충분하다고 생각했다. 만약에 원문이 궁금하다면 책을 직접 사서 읽으면 된다. 참고로 이 블로그에서는 libgen, z-library 등의 사이트를 이용하여 이 책의 PDF 파일을 구하는 등의 불법적인 활동을 권장하지 않는다. 실제로 필자는 이 책을 사서 가지고 있다!
여기서 말한 내용을 간단하게 설명하자면, 유리수로는 못 나타내는 수가 있기 때문에 (달리 말하면 어떤 수직선에 구멍이 뚫려있는 느낌이기 때문에) 이걸 채워줄 실수라는 개념이 필요하고, 실수에 대해 정의하기 위해서는 ordered set 과 field 라는 개념에 대해 알아야 한다는 것이다. 그걸 시작하기 전에, Definitions 1.3 에서 기본적인 집합론 개념을 정의하고 넘어가겠다는 것이다.
$A$ 가 숫자나 그 이외의 것들로 구성된 집합이라고 할 때, $x$ 가 $A$ 와 어떤 구성원 (혹은 요소)임을 나타내기 위해서 $x \in A$ 와 같이 나타낸다.
만약 $x$ 가 $A$ 와 구성원이 아니라면, $x \notin A$ 와 같이 나타낸다.
어떤 집합에 요소가 하나도 없다면 empty set (공집합) 이라고 부르며, 하나라도 있다면 nonempty 하다고 말한다.
집합 $A$ 와 $B$ 가 있을 때, $A$ 와 모든 원소가 $B$ 와 원소일 경우, $A$ 는 $B$ 와 subset (부분집합) 이라고 부르며, $A \subset B$ 또는 $B \supset A$ 로 표현한다. 이 때, $B$ 와 원소 중에 $A$ 에는 포함되지 않는 것이 있을 경우, $A$ 는 $B$ 와 proper subset (진부분집합) 이라고 부른다. 참고로, 모든 집합은 자기자신의 subset이다.
만약 $A \subset B$ 이고 $B \subset A$ 라면, $A = B$ 로 나타낸다. 그렇지 않으면, $A \neq B$ 로 나타낸다.
위 내용들은 고등학교 수학에 익숙한 사람들은 이미 알고 있는 내용일 것이다. 만약 이 개념들이 낯설다면 자세하게 짚고 넘어가길 바란다. 앞으로 맨날 써야하기 때문이다!
모든 유리수들의 집합을 $\mathbb{Q}$ 라고 표현한다.
책에는 그냥 $Q$ 로 적혀있지만, 이 블로그 포스트에서는 칠판체로 통일하겠다. 참고로 저걸 Q라고 적는 이유는 영어 단어 Quotient의 앞글자를 딴 것이다. Quotient의 발음은 [큐오티언트], [쿼티언트] 같은 것이 아니라, [쿼션트] 라고 한다. 이 글을 읽는 독자들은 필자와 같은 실수를 하지 않기 바란다.
오늘 배운 내용들을 간단하게 요약해보겠다.
유리수로는 못 나타내는 수가 많아서 실수가 필요하다.
실수를 정의하기 위해서는 ordered set과 field의 개념이 필요하다.
집합들의 상태, 포함 관계 등을 나타내기 위한 다양한 기호들을 배워보았다.
여기까지가 Introduction 부분이었다. 이 소단원에서는 유리수에 ‘빈 공간’이 있다는 것을 보이면서 왜 실수가 필요한지 당위성을 제공하였다. 또한, 앞으로 자주 쓰게 될 집합론 관련 기호들을 정의해두었다. 이 내용들은 (기초 중의 (기초 중의 기초)) 내용이니 반드시 숙지해두는 것을 추천한다.
다음 글에서는 ordered set 을 정의하고, least-upper-bound property 에 대해서도 알아보겠다.
오늘의 해석학 공부는 여기까지!